高一数学问题 三角高手来`

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 05:45:58
三角形ABC中，三个角成等差数列。求cosA^2+cosB^2+cosC^2的最小值
要过程，特别是化简过程。答案是3/4

角B＝60度 A＋C＝120度
原式＝1/4＋（1＋cos2A）/2＋（1＋cos2B）/2
＝1/4＋1/2（2＋2cos（A＋B）cos（A－B））
＝1/4＋1－1/2COS（A－B）
因为A－B在（－120度，120度）
所以原式最小值为3/4

设等差的排序为A B C，公差为d(d>=0)，且A<=B<=C
则根据等差数列的性质：2B=A+C
同时，根据三角形内角和A+B+C=π
所以，3B=π ---> B=π/3
所以0<=d<π/3 （三角形内角为正）

原式化简利用二倍角公式,同时结合合角公式
(cos2(B-d)+1)/2+(cos^2)B+(cos2(B+d)+1)/2
=1+(cos^2)B+cos(2B)cos(2d) 代入B=π/3
=5/4-cos(2d)/2

0<=2d<2π/3,根据y=cosx图像可知，当x=0时，在[0,2π/3)取最大值，则-cosx取最小值。

所以原式最小值是当2d=0，即d=0时，三角形为等边三角形时，原式最小值=3/4

5/4-3^2/4